Question

【題目】小明在學習三角形的知識時, 發現如下三個有趣的結論：

(1)如圖①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分線與∠ADC的平分線交于點E, 則BE、DE的位置關系是 ；

(2)如圖②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 則BE與DF的位置關系是 ；

(3)如圖③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分線與∠ADC的外角平分線交于點E, 則BE、DE的位置關系是 . 請你完成命題 (3)證明.

Answer 1

【答案】（1）BE⊥DE；　（2）BE//DF；　（3）BE⊥DE.證明見解析.

【解析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,設∠HDC＝∠ABH=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=x，則有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,設∠HDC＝∠ABH=x，可得∠EBH＝∠ABE=x,則∠DGE=90°+x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,則∠CDF= （180°-x），所以∠CDF+∠HDC= （180°-x）,然后運用同位角相等，即可證明；

（3）設∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根據題意可得：∠EDF＝∠EBF=（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四邊形內角和，求出∠BED=90°，完成證明.

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

設∠HDC＝∠ABH=x

∵∠ABC的平分線與∠ADC的平分線交于點E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE

∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵BE平分∠ABH，

∴∠EBH＝∠ABE=x

∴∠DGE=90°+x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF= （180°-x）=90°-x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-x+x=90°+x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，證明如下：

設∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分線與∠ADC的外角平分線交于點E

∴∠EDF＝∠EBF=（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-（90°+x）-（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE