Question

（2011•江干區(qū)模擬）如圖，直線l₁：y=x+1與直線l₂：y=

1

2

x+

1

2

相交于點(diǎn)P（-1，0）．直線l₁與y軸交于點(diǎn)A．一動點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₁處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₁處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₂處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₂處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動，…照此規(guī)律運(yùn)動，動點(diǎn)C依次經(jīng)過點(diǎn)B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
則當(dāng)動點(diǎn)C到達(dá)A_n處時，運(yùn)動的總路徑的長為（　　）

A．n²

B．2ⁿ-1

C．2^n-1+1

D．2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析：由直線直線l₁：y=x+1可知，A（0，1），則B₁縱坐標(biāo)為1，代入直線l₂：y=

1

2

x+

1

2

中，得B₁（1，1），又A₁、B₁橫坐標(biāo)相等，可得A₁（1，2），則AB₁=1，A₁B₁=2-1=1，可判斷△AA₁B₁為等腰直角三角形，利用平行線的性質(zhì)，得△A₁A₂B₂、△A₂A₃B₃、…、都是等腰直角三角形，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，及直線l₁、l₂的解析式，分別求AB₁+A₁B₁，A₁B₂+A₂B₂的長，得出一般規(guī)律．

解答：解：由直線直線l₁：y=x+1可知，A（0，1），根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，及直線l₁、l₂的解析式可知，B₁（1，1），AB₁=1，
A₁（1，2），A₁B₁=2-1=1，AB₁+A₁B₁=2，
B₂（3，2），A₂（3，4），A₁B₂=3-1=2，A₂B₂=4-2=2，A₁B₂+A₂B₂=2+2=4=2²，
…，
由此可得A_n-1B_n+A_nB_n=2ⁿ，
所以，當(dāng)動點(diǎn)C到達(dá)A_n處時，運(yùn)動的總路徑的長為2+2²+2³+..+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷等腰直角三角形，得出一般規(guī)律．