Question

17、已知n是正整數，則奇數可以用代數式2n+1來表示．
（1）分解因式：（2n+1）²-1；
（2）我們把所有”奇數的平方減去1”所得的數叫”白銀數”，則所有”白銀數”的最大公約數是多少？請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據平方差公式進行因式分解；
（2）由（1）可知，“白銀數”為4n（n+1），觀察式子，n（n+1）中，n、n+1必有一個是偶數，因此這個白銀數必是8的倍數，由此求得白銀數的最大公約數．

解答：解：（1）（2n+1）²-1=（2n+1+1）（2n+1-1）=4n（n+1）；（3分）
（2）所有”白銀數”的最大公約數是8；（1分）
理由：∵n正整數，則n與n+1必有一個偶數，∴n（n+1）必是2的倍數，則4n（n+1）必是8的倍數，
∴所有”白銀數”的最大公約數是8．（2分）

點評：此題主要考查了因式分解以及奇數、偶數的表示方法，正確判斷出n（n+1）是2的倍數，是解決此題的關鍵．