Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.

（1）求點A的坐標；

（2）當S△ABC=15時，求該拋物線的表達式；

（3）在（2）的條件下，經過點C的直線與拋物線的另一個交點為D.該拋物線在直線上方的部分與線段CD組成一個新函數的圖象。請結合圖象回答：若新函數的最小值大于﹣8，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）；（2）y=x2﹣4x﹣5；（3）當﹣1＜k＜0時新函數的最小值大于﹣8．

【解析】試題分析：（1）對于拋物線解析式，令y=0得到關于x的方程，求出方程的解，根據A在B的左側且m大于0，求A的坐標即可；

（2）由（1）的結果表示出B的坐標，根據拋物線與y軸交于點C，表示出C坐標，進而表示出AB與OC，由三角形ABC面積為15，利用三角形面積公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出拋物線解析式；

（3）由（2）中m的值確定出C坐標，設直線l解析式為y=kx+b，把C坐標代入求出b的值，拋物線解析式配方后，經判斷得到當點D在拋物線對稱軸右側時，新函數的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，確定出拋物線經過點（3，-8），把（3，-8）代入一次函數解析式求出k的值，由圖象確定出滿足題意k的范圍即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，

∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，

解得：x1=﹣1，x2=m，

又∵點A在點B左側，且m＞0，

∴點A的坐標為（﹣1，0）；

（2）由（1）可知點B的坐標為（m，0），

∵拋物線與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，﹣m），

∵m＞0，

∴AB=m+1，OC=m，

∵S△ABC=15，

∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，

解得：m=﹣6或m=5，

∵m＞0，

∴m=5；

則拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5；

（3）由（2）可知點C的坐標為（0，﹣5），

∵直線l：y=kx+b（k＜0）經過點C，

∴b=﹣5，

∴直線l的解析式為y=kx﹣5（k＜0），

∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴當點D在拋物線頂點處或對稱軸左側時，新函數的最小值為﹣9，不符合題意；

當點D在拋物線對稱軸右側時，新函數的最小值有可能大于﹣8，

令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，

解得：x1=1（不合題意，舍去），x2=3，

∴拋物線經過點（3，﹣8），

當直線y=kx﹣5（k＜0）經過點（3，﹣8）時，可求得k=﹣1，

由圖象可知，當﹣1＜k＜0時新函數的最小值大于﹣8．