Question

【題目】以△ABC的邊AB，AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，M為EG的中點，連接AM．

（1）如圖1，∠BAC=90°，試判斷AM與BC關系？

（2）如圖2，∠BAC≠90°，圖1中的結論是否成立？若不成立，說明理由；若成立，給出證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)結論仍然成立，理由見解析.

【解析】

（1）結論：AM=BC．易知AM=EG，只要證明△BAC≌△EAG即可解決問題；

（2）結論仍然成立．延長AM到N，使得AM=MN，連接EN、NG．只要證明△BAC≌△AEN，即可解決問題．

（1）結論：AM=BC．

理由：∵∠BAC=∠EAG=90°，EM=GM，

∴AM=EG，

在△BAC和△EAG中，

，

∴△BAC≌△EAG，

∴BC=EG，

∴AM=BC．

(2)（1）中結論仍然成立．

理由：延長AM到N，使得AM=MN，連接EN、NG．

∴EM=MG，AM=MN，

∴四邊形AENG是平行四邊形，

∴EN=AG，EN∥AG，

∴∠NEA+∠EAG=180°，

∵∠BAE=∠CAG=90°，

∴∠BAC+∠EAG=180°，

∴∠NEA=∠BAC，

∵AB=AE，AC=EN，

∴△BAC≌△AEN，

∴BC=AN，

∴AM=BC．