Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，連接AC并延長至點D，使CD＝AC，點E是OB上一點，且，CE的延長線交D的延長線于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）當OB＝2時，求AH的長

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，由垂徑定理得出∠AOC＝90°，證明OC是△ABD的中位線，得出OC∥BD，由平行線的性質得出∠ABD＝∠AOC＝90°，即可得出結論；

（2）由平行線得出△OCE∽△BFE，得出＝＝，求出BF＝3，由勾股定理得出AF＝＝5，由三角形面積得出BH＝＝，再由勾股定理即可得出答案．

解：（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OB，CD＝AC，

∴OC是△ABD的中位線，

∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴AB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得：OC∥BD，

∴△OCE∽△BFE，

∴＝＝

∵OB＝2，

∴OC＝OB＝2，AB＝4，

∴＝，

∴BF＝3，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∴AF＝＝＝5，

∵△ABF的面積=AF×BH＝AB×BF，

∴BH＝＝，

∴AH＝＝＝．