Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D．E，連結AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形。

_____________________，______________________ 。

(2)直角梯形OABC中，以O為坐標原點，A在x軸正半軸上建立直角坐標系（如圖2），若拋物線經過點A．B．D，且B為拋物線的頂點。

①寫出頂點B的坐標（用a的代數式表示）___________。

②求拋物線的解析式。

③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點P：過點P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB……………………………………………4分

（2）①（1，－4a）…………………………………………………………1分

②∵△OAD∽△CDB

∴…………………………………………………………1分

∵ax²－2ax－3a=0，可得A（3，0）…………………………………2分

又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，

∴   ∴　　∵　　∴

故拋物線的解析式為：………………………………2分

③存在，設P（x，－x²+2x+3）

∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形

∴PN=AN

當x<0（x<－1）時，－x+3=－(－x²+2x+3)，x₁=－2，x₂=3(舍去)，

∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分

當x>0（x>3）時，x－3= －(－x²+2x+3)， x₁=0，x₂=3(都不合題意舍去) …………1分

符合條件的點P為（－2，－5）………………………………………………1分