Question

【題目】（探索發現）如圖1，△ABC中，點D，E，F分別在邊BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一點O．用”S”表示三角形的面積，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，這一結論可通過以下推理得到：過點B作BM⊥AD，交AD延長線于點M，過點C作CN⊥AD于點N，可得S△ABD：S△ACD＝，又可證△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD．由此可得S△BAO：S△BCO＝　 　；S△CAO：S△CBO＝　 　；若D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，則S△BFO：S△ABC＝　 　．

（靈活運用）如圖2，正方形ABCD中，點E，F分別在邊AD，CD上，連接AF，BE和CE，AF分別交BE，CE于點G，M．

（1）若AE＝DF．判斷AF與BE的位置關系與數量關系，并說明理由；

（2）若點E，F分別是邊AD，CD的中點，且AB＝4．則四邊形EMFD的面積是　 　．

（拓展應用）如圖3，正方形ABCD中，AB＝4，對角線AC，BD相交于點O．點F是邊CD的中點．AF與BD相交于點P，BG⊥AF于點G，連接OG，請直接寫出S△OGP的值．

Answer 1

【答案】[探索發現] AE：EC，AF：BF，1：6．[靈活運用]（1）結論：AF＝BE，AF⊥BE．（2）;[拓展應用] S△GOP＝．

【解析】

【探索發現】利用等高模型，解決問題即可．

【靈活運用】

（1）結論：AF＝BE，AF⊥BE．證明△BAE≌△ADF（SAS）即可解決問題．

（2）根據對稱性可知△DME，△DMF，關于直線DM對稱，推出S△DME＝S△DMF，由AE＝DE，推出S△AEM＝S△DME＝S△DMF，求出△ADF的面積即可解決問題．

【拓展應用】

由△GPO∽△BPA，推出 即可解決問題．

解：探索發現：由題意：S△BAO：S△BCO＝AE：EC；S△CAO：S△CBO＝AF：BF；若D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，則S△BFO：S△ABC＝1：6，

故答案為：AE：EC，AF：BF，1：6．

靈活運用：（1）結論：AF＝BE，AF⊥BE．

理由：如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，

∵AE＝DF，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠AEB＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∴AF⊥BE．

（2）如圖2﹣1中，連接DM．

根據對稱性可知△DME，△DMF，關于直線DM對稱，

∴S△DME＝S△DMF，

∵AE＝DE，

∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF，

∵S△ADF＝×4×2＝4，

∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝，

∴S四邊形EMFD＝．

故答案為．

拓展應用：如圖3中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4，OA＝OB＝OD＝OC＝2，

∵DF＝FC，

∴DF＝FC＝2，

∵DF∥AB，

∴，

∴OP：OB＝OP：OA＝1：3，

∵BG⊥PA，AO⊥OB，

∴∠AGB＝∠AOB＝90°，

∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°，

∴∠PAO＝∠PBG，

∵∠APO＝∠BPG，

∴△AOP∽△BGP，

∴

∴，∵∠GPO＝∠BPA，

∴△GPO∽△BPA，

∴，

∴S△ABP＝S△ABD＝，

∴S△GOP＝．