Question

【題目】如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，.（1）求證：直線PB是⊙O的切線；

（2）求cos∠BCA的的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）cos∠BCA =

【解析】分析：（1）連接OB、OP，如圖，結合相似三角形的性質可推出△BDC∽△PDO，進一步分析可得BC∥OP，由此通過角之間的等量轉化便不難得到△BOP≌△AOP，至此結合全等三角形的性質，問題（1）便可得以解決；

（2）設PB=a，則BD=2a，根據切線長定理得到PA=PB=a，由此借助勾股定理以及線段間的比例關系即可用含a的代數式表示出OP以及OA的長.

詳解：（1）證明：連接OB、OP .

∵ 且∠D=∠D,

∴ △BDC∽△PDO ,

∴ ∠DBC=∠DPO ,

∴ BC∥OP,

∴ ∠BCO=∠POA , ∠CBO=∠BOP.

∵ OB=OC ,

∴ ∠OCB=∠CBO ,

∴ ∠BOP=∠POA.

又∵ OB=OA， OP=OP ,

∴ △BOP≌△AOP ,

∴ ∠PBO=∠PAO.

又∵ PA⊥AC ,

∴ ∠PBO=90° ,

∴ 直線PB是⊙O的切線.

（2）由（1）知∠BCO=∠POA ,

設PB，則.

又∵ ,

∴ .

又∵ BC∥OP ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ cos∠BCA=cos∠POA= .