Question

【題目】如圖1，二次函數yx2+bx+c的圖象過A(5，0)和B(0，)兩點，射線CE繞點C(0，5)旋轉，交拋物線于D，E兩點，連接AC．

（1）求二次函數yx2+bx+c的表達式；

（2）連接OE，AE，當△CEO是以CO為底的等腰三角形時，求點E的坐標和△ACE的面積；

（3）如圖2，射線CE旋轉時，取DE的中點F，以DF為邊作正方形DFMN．當點E和點A重合時，正方形DFMN的頂點M恰好落在x軸上．

①求點M的坐標；

②當點E和點A重合時，將正方形DFMN沿射線CE方向以每秒個單位長度平移．設運動時間為t秒．直接寫出正方形DFMN落在x軸下方的面積S與時間t(0≤t≤4)的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）yx2+2x；（2）點E(4，)；△ACE的面積是；（3）①點M的坐標為(1，0)；②S．

【解析】

（1）把A(5，0)和B(0，)兩點代入解析式，利用待定系數法求解即可，

（2）△CEO是以CO為底的等腰三角形時，可得點E、B關于拋物線對稱軸對稱．從而可得的坐標，再利用可得答案，

（3） ①求解直線AC的表達式為：y=﹣x+5，利用對角線DM與AC的夾角為45°，得到 從而利用D的坐標，得到M的坐標，②設正方形MFDN平移后為M'F'D'N'，分兩種情況討論即可得到答案．

解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：

，

解得，

故拋物線的表達式為：yx2+2x①；

（2）當C(0，5)，△CEO是以CO為底的等腰三角形時，

則OC的中點(0，)的縱坐標和點E的縱坐標相同，

而點B(0，)，即點E、B關于拋物線對稱軸對稱．

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，

故點E的坐標為(4，)；

OC|xE|OA|yE|

5×45

（3）①∵OA=OC=5，∴∠CAO=45°．

正方形DFMN，

對角線DM與AC的夾角為45°，

∴∠DMA=90°，即DM⊥x軸，

即點D、M的橫坐標相同，

由A、C的坐標得：直線AC的表達式為：y=﹣x+5②，

聯立①，②并解得：x=1或5(舍去5)，

故x=1，故點D(1，4)，

∴點M的坐標為(1，0)；

②設正方形MFDN平移后為M'F'D'N'，如圖1，2所示；

由A、D的坐標得：DA4，

∵點F是AD的中點，故DA=2，即正方形MFDN的邊長為2，

∴正方形MFDN的面積為S1=(2)2=8；

(Ⅰ)當0≤t≤2時，如圖1所示，設M'F'交x軸于點H．

∵t秒時，正方形平移的距離為t，

∴MM't=M'H，

∴S=S△M'MHMM'M'H(t)2=t2；

(Ⅱ)當2＜t≤4時，如圖2所示，設N'D'交x軸于點H．

∵t秒時，正方形平移的距離為t，則DD't，

∴AD'=AD﹣DD'=4t=HD'，

∴S=S1﹣S△AD'H=8AD'×HD'=8=﹣t2+8t﹣8，

綜上，S．