Question

解決下面問題：
如圖，在△ABC中，∠A是銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

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∠A，BE與CD相交于點O，探究BD與CE之間的數量關系，并證明你的結論．

小新同學是這樣思考的：
在平時的學習中，有這樣的經驗：假如△ABC是等腰三角形，那么在給定一組對應條件，如圖a，BE，CD分別是兩底角的平分線（或者如圖b，BE，CD分別是兩條腰的高線，或者如圖c，BE，CD分別是兩條腰的中線）時，依據圖形的軸對稱性，利用全等三角形和等腰三角形的有關知識就可證得更多相等的線段或相等的角．這個問題也許可以通過添加輔助線構造軸對稱圖形來解決．請參考小新同學的思路，解決上面這個問題．

Answer 1

分析：以C為頂點作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點，首先證明△BDC≌△CFB，就可以得出BD=CF，∠BDC=∠CFB，進而得出∠CFB=∠CEF就可以得出CE=CF而得出結論．

解答：解：BD=CE．理由如下：
如圖，以C為頂點作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點．
在△BDC和△CFB中，

∠FCB=∠DBC BC=BC ∠FBC=∠DCB

，
∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∵∠DCB=∠EBC=

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∠A，
∴∠DCB+∠EBC=∠A．
∵∠DCB+∠EBC=∠FOC，
∴∠FOC=∠A．
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠CFB=∠A+∠ACD．
∴∠CFB=∠FOC+∠ACD．
∵∠FEC=∠FOC+∠ACD，
∴∠CFB=∠CEF，
∴CE=CF．
∴BD=CE．

點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，三角形的外角與內角的關系的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．