Question

【題目】（本小題12分）如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．

（1）試用含t的式子表示AE、AD的長；

（2）如圖2，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；

（3）連接DE,當t為何值時，△DEF為直角三角形？

（4）如圖3，連接DE，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當t為何值時，四邊形AEA′D為菱形？

Answer 1

【答案】（1）AE=t ， AD=12－2t ；（2）四邊形AEFD是平行四邊形，理由見解析； （3）t=3秒或t＝秒；（4）t=4．

【解析】

試題分析：（1）根據點E以每秒1cm的速度運動，同時點D以每秒2cm的速度運動，運動時間為t秒，可

得AE=t ，CD=2t，所以可得AD=12－2t ；（2）當DF⊥BC，且DF= AE 時，四邊形AEFD是平行四邊

形；（3）根據題意可知∠DFE＜90°，所以分當∠EDF=90°時和當∠DEF=90°時兩種情況討論，利用直角三

角形中30°角的性質解答即可；（4）由（2）可知四邊形AEFD可以是平行四邊形，所以滿足AE=AD可得四

邊形AEA′D為菱形，然后解方程即可．

試題解析：解：（1）AE=t ， AD=12－2t （2分）

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°

∴ DF=CD=×2t = t

∵ AE =t

∴ DF= AE

∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC

∴ DF∥AE

∴ 四邊形AEFD是平行四邊形； （3分）

（3）①顯然∠DFE＜90°；

②如圖①′，

當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，

此時 AE=AD，

∴t＝(122t)，

∴t=3；

③如圖①″，

當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°

∴∠AED=90°-∠A=30°

∴AD=AE，

∴122t＝t，

∴t＝ ；

綜上：當t=3秒或t＝秒時，△DEF為直角三角形； （4分）

（4）如圖（3），

若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD

∴t=12－2t

∴t=4

∴當t=4時，四邊形AEA′D為菱形 （3分）