Question

如圖，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M．下列結論：

①BD是∠ABC的平分線；

②△BCD是等腰三角形；

③△ABC∽△BCD；

④△AMD≌△BCD．

正確的有________個．

[　　]

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

答案：B
解析：

解：∵AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M， 　　∴AD＝BD， 　　∴∠ABD＝∠A＝36°， 　　∵AB＝AC， 　　∴∠ABC＝∠C＝72°， 　　∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝36°， 　　∴∠ABD＝∠CBD， 　　∴BD是∠ABC的平分線；故①正確； 　　∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°， 　　∴∠BDC＝∠C＝72°， 　　∴△BCD是等腰三角形，故②正確； 　　∵∠C＝∠C，∠BDC＝∠ABC＝72°， 　　∴△ABC∽△BCD，故③正確； 　　∵△AMD中，∠AMD＝90°，△BCD中沒有直角， 　　∴△AMD與△BCD不全等，故④錯誤． 　　故選B． 　　分析：首先由AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度數，又由AB＝AC，即可求得∠ABC與∠C的度數，則可求得所有角的度數，可得△BCD也是等腰三角形，則可證得△ABC∽△BCD． 　　點評：此題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．