Question

【題目】★如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P是直線AB上一動點，⊙P的半徑為1.

(1)判斷原點O與⊙P的位置關系，并說明理由；

(2)當⊙P過點B時，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

(3)當⊙P與x軸相切時，求出切點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3） 或

【解析】試題分析：（1）由直線y＝與x軸、y軸分別交于A，B兩點，可求得點A與點B的坐標，繼而求得∠OBA＝30°，然后過點O作OH⊥AB于點H，利用三角函數可求得OH的長，根據直線與圓的位置關系即可得出答案；

（2）當⊙P過點B時，點P在y軸右側時，易得⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角為：180°－30°－30°＝120°，則可求得弧長；同理可求得當⊙P過點B時，點P在y軸左側時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

（3）首先求得當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，點D的坐標，然后利用對稱性可以求得當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，點D的坐標．

試題解析：解：（1）原點O在⊙P外．理由如下：

∵直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，

∴點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(0，－2)．

在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，

∴∠OBA＝30°．

如圖①，過點O作OH⊥AB于點H，

在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝．

∵＞1，

∴原點O在⊙P外；

（2）如圖②，當⊙P過點B時，點P在y軸右側時，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數為180°－30°－30°＝120°，

∴弧長為＝；

同理：當⊙P過點B時，點P在y軸左側時，弧長同樣為．

∴當⊙P過點B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為；

（3）如圖③，當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，作PD⊥x軸，

∴PD∥y軸，

∴∠APD＝∠ABO＝30°．

在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，

∴OD＝OA－AD＝2－，

∴此時點D的坐標為；

當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據對稱性可以求得此時切點的坐標為．

綜上所述，當⊙P與x軸相切時，切點的坐標為或．