Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCM．

（1）求證：EF＝MF；（2）當AE＝1時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由旋轉的性質可得DE＝DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF＝MF；

（2）由第一問的全等得到AE＝CM＝1，正方形的邊長為3，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

（1）證明：∵△DAE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°，

∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，

∴∠EDF＝∠FDM．

又∵DF＝DF，DE＝DM，

∴△DEF≌△DMF，

∴EF＝MF；

（2）解：設EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，

∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，

∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，

即22+（4﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

則EF的長為.