Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC交于點F，過點D作⊙O的切線交AC于E．

（1）求證：AD2=ABAE；

（2）若AD=2，AF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）欲證明AD2=ABAE，即證明AD2=ACAE，只要證明△ADE∽△ACD即可．

（2）易知OD=AC，只要求出AC，先證明EF=EC，設EF=EC=x，根據DE2=EFEA=AD2-AE2，列出方程即可解決問題．

（1）如圖，連接OD，DF．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵AO=OB，

∴OD∥AC，DO=AC，

∵DE是切線，

∴OD⊥DE，∵OD∥AC，

∴DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ADC=90°，

∴△ADE∽△ACD，

∴，

∴AD2=AEAC=ABAE．

（2）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠DFC=∠B，

∴∠C=∠DFC，

∴DF=DC，∵DE⊥CF，

∴EF=EC，設FE=EC=x，

∵DE是切線

∴DE2=EFEA=AD2-AE2，

∴x（x+3）=（2）2-（x+3）2，

∴x=，

∴AC=AF+FC=3+=，

由（1）可知OD=AC=，

∴⊙O的半徑為．