Question

【題目】在同一直角坐標系中，拋物線C1：2與拋物線C2：2關于軸對稱，C2與軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側交y軸于點D．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）對于拋物線C2：2在第三象限部分的一點P，作PF⊥軸于F，交AD于點E，若E關于PD的對稱點E′恰好落在軸上，求P點坐標；

（3）在拋物線C1上是否存在一點G，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以A、B、G、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出G、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)，B(1，0)；（2），；（3）存在滿足條件的點G、Q，其坐標為G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

【解析】

（1）由對稱可求得、的值，則可求得兩函數的對稱軸，可求得的值，則可求得兩拋物線的函數表達式；由C2的函數表達式可求得A、B的坐標；

（2）可判定四邊形PEDE′是菱形，然后根據PE＝DE的條件，列出方程求解；

（3）由題意可知AB可能為平行四邊形的邊或對角線，利用平行四邊形的性質，可設出G點坐標和Q點坐標，代入C2的函數表達式可求得G、Q的坐標．

（1）∵C1、C2關于y軸對稱，

∴C1與C2的交點一定在軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，

∴＝1，＝﹣3，

∴C1的對稱軸為＝1，

∴C2的對稱軸為＝，

∴＝2，

∴C1的函數表示式為2，C2的函數表達式為2；

在C2的函數表達式為2中，令＝0可得2，

解得或，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；

（2）∵點E、E′關于直線PD對稱，

∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠EPD＝∠PDE′，

∴∠E′PD＝∠PDE′，

∴PE′＝DE′，

∴PE＝DE＝PE′＝DE′，

即四邊形PEDE′是菱形．

當四邊形PEDE′是菱形存在時，由直線AD解析式，∠ADO＝45°，

設P(，2)，E(，)，

∴DE＝﹣，PE＝﹣32+3＝﹣23，

∴﹣23，解得a1＝0（舍去），a2＝，

∴P()．

（3）存在．

∵AB的中點為(﹣1，0)，且點G在拋物線C1上，點Q在拋物線C2上，

當AB為平行四邊形的一邊時，

∴GQ∥AB且GQ＝AB，

由（2）可知AB＝1(﹣3)＝4，

∴GQ＝4，

設G(t，t22t3)，則Q(t+4，t2t3)或(t4，t22t3)，

①當Q(t+4，t2+2t3)時，則t22t3＝(t+4)2+2(t+4)3，

解得t＝﹣2，

∴t22t3＝4+43＝5，

∴G(﹣2，5)，Q(2，5)；

②當Q(t4，t22t3)時，則t22t3＝(t4)2+2(t4)3，

解得t＝2，

∴t22t3＝443＝﹣3，

∴G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)，

當AB為平行四邊形的對角線時，設G(m，m22m3)，Q(n，n2+2n3)，

∴

解得m＝，n＝﹣2或m＝﹣，n＝﹣2+，

∴G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

綜上可知，存在滿足條件的點G、Q，其坐標為G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．