Question

【題目】如圖，已知點D是△ABC的邊BC的中點，直線AE∥BC，過點D作直線DE∥AB，分別交AE、AC于點E、F。

（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）如果四邊形ADCE是矩形，△ABC應滿足什么條件？并說明理由；

（3）如果四邊形ADCE是菱形，直接寫出△ABC應滿足的條件是 。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）如果四邊形ADCE是矩形，則△ABC是等腰三角形，理由見解析；（3）AB⊥AC.

【解析】（1）證出四邊形ABDE是平行四邊形，得出AE=BD，由已知得出AE=CD，即可得出四邊形ADCE是平行四邊形．

（2）由矩形的性質得出∠ADB=90°，由線段垂直平分線的性質得出AB=AC即可．

（3）由菱形的性質得出AD=DC，根據BD=CD可知，B、A、C三點在以D為圓心的圓上，根據直徑所對的圓周角是直角即可.

（1）證明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE=BD，

∵點D是△ABC的邊BC的中點，

∴BD=CD，

∴AE=CD，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

（2）解：如果四邊形ADCE是矩形，△ABC是等腰三角形；理由如下：

∵四邊形ADCE是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵點D是△ABC的邊BC的中點，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形．

（3）△ABC應滿足的條件是 AB⊥AC .