Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點E，F分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系．

（1）思路梳理

將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數量關系為__；

（2）類比引申

如圖2，在圖1的條件下，若點E，F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系，并給出證明．

（3）聯想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.

Answer 1

【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DFBE；證明見解析；（3）.

【解析】

（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合，首先證明F，D，G三點共線，求出∠EAF＝∠GAF，然后證明△AFG≌△AFE，根據全等三角形的性質解答；

（2）將△ABE繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADE'，首先證明E'，D，F三點共線，求出∠EAF＝∠E'AF，然后證明△AFE≌△AFE'，根據全等三角形的性質解答；

（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根據勾股定理計算即可．

解：（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合，

∵∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠FDG＝180°，即點F，D，G三點共線，

∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AFG和△AFE中，，

∴△AFG≌△AFE，

∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；

（2）EF＝DFBE；

證明：將△ABE繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，

∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三點共線，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠E'AF＝∠BAD（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠E'AF，

在△AEF和△AE'F中，，

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DFDE'，

∴EF＝DFBE；

（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，

同（1）可證△AED≌AED'，

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，

故答案為：．