Question

【題目】如圖，已知中， ， ， ，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯結DE，過點D作交BC邊于點F，聯結EF．

（1）如圖1，當時，求EF的長；

（2）如圖2，當點E在AC邊上移動時， 的正切值是否會發生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出的正切值；

（3）如圖3，聯結CD交EF于點Q，當是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變；（3）或3或.

【解析】試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；

（2）過點作， ，垂足分別為點、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結論；

（3）分三種情況討論即可.

（1）∵，

∴

∵

∴

∵是邊的中點

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∵

∴

又∵

∴四邊形是矩形

∴

∵在中，

∴

（2）不變

過點作， ，垂足分別為點、

由（1）可得，

∵，

∴

又∵，

∴四邊形是矩形

∴

∵

∴ 即

又∵

∴

∴

∵

∴

（3）1° 當時，易證，即

又∵，D是AB的中點

∴

∴

2° 當時，易證

∵在中，

∴設，則，

當時，易證，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴

3° 在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出

當時，易證

∴設，則，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴