Question

【題目】如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線 、 、 、 上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）．

（1）求證： = ；
（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S= ；
（3）若 ，當 變化時，說明正方形ABCD的面積S隨 的變化情況．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過A點作AF⊥l3分別交l2、l3于點E、F，過C點作CG⊥l3交l3于點G，
∵l2∥l3 ， ∴∠2=∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 =
（2）解：∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD=∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°,AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2 ， ∴S=
（3）解：由題意，得 ，所以
，
又 ，解得0＜h1＜
∴當0＜h1＜ 時，S隨h1的增大而減小；
當h1= 時，S取得最小值 ；
當 ＜h1＜ 時，S隨h1的增大而增大
【解析】（1）由三角形全等，即△BEA≌△DGC，可得h 1 = h 3；（2）正方形的面積可轉化為邊長的平方，通過證△AFD≌△DGC，得到DF=CG，利用勾股定理AD2=AF2+FD2 ， 進而轉化為( h 1 + h 2 ) 2 + h 1 2；（3）可用h1的代數式表示h2,利用（2）的結論，構建S關于h1的二次函數，求出h1的范圍，在此范圍內，討論其性質.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．