Question

如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，并且與反比例函數的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1；
（1）求：點A、B、C、D的坐標；
（2）求反比例函數的解析式；
（3）求△AOC的周長和面積．

Answer 1

解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴點A坐標為（-1，0），點B坐標為（0，1），點C坐標為（1，2）；點D的坐標為（1，0）．

（2）設直線AB的解析式為y=ax+b，
把A（-1，0），B（0，1）代入得，
解得，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
∵CD垂直于x軸，垂足是D，
∴C點的橫坐標為1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
∴C點坐標為（1，2），
設反比例函數的解析式為y=，
把C（1，2）代入得k=1×2=2，
故反比例函數的解析式為y=；

（3）∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2，
∴AC==2，
∵在Rt△OCD中，OD=1，CD=2，
∴OC==，
∴△AOC的周長=OA+OC+AC=1++2；
△AOC的面積=OA•CD=×1×2=1．
分析：（1）由OA=OB=OD=1可直接得到點A、B、C、D的坐標；
（2）先利用待定系數法確定直線AB的解析式為y=x+1，由于CD垂直于x軸，垂足是D，則C點的橫坐標為1，再把x=1代入y=x+1得y=2，從而確定C點坐標為（1，2），然后再利用待定系數法確定反比例函數的解析式；
（3）利用勾股定理分別計算出AC和OC，然后根據三角形的周長與面積公式分別計算△AOC的周長和面積．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的圖象的交點坐標滿足兩個函數的解析式；待定系數法是確定函數關系式常用的方法．也考查了勾股定理．