Question

【題目】某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等．

（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少；

（2）現在商城準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，總利潤不低于13000元，請分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；

（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）問中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】（1）1600，2000；（2）有7種，當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元；（3）當50＜k＜100時，購進電冰箱40臺，空調60臺銷售總利潤最大；當0＜k＜50時，購進電冰箱34臺，空調66臺銷售總利潤最大；當k=50時，每種進貨方案的總利潤都一樣．

【解析】

（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據“商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等”，列出方程，即可解答；

（2）設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，表示出總利潤y=﹣50x+15000，根據題意得：求出x的取值范圍，根據x為正整數，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7種，利用一次函數的性質，確定獲利最大的方案以及最大利潤；

（3）當電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元時，則利潤y=（k﹣50）x+15000，分兩種情況討論：當k﹣50＞0；當k﹣50＜0；利用一次函數的性質，即可解答．

解：（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據題意得：

，解得：x=1600，

經檢驗，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，

答：每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元．

（2）設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，

則y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根據題意得：

，解得：，

∵x為正整數，∴x=34，35，36，37，38，39，40，

∴合理的方案共有7種，即①電冰箱34臺，空調66臺；②電冰箱35臺，空調65臺；③電冰箱36臺，空調64臺；④電冰箱37臺，空調63臺；⑤電冰箱38臺，空調62臺；⑥電冰箱39臺，空調61臺；⑦電冰箱40臺，空調60臺；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，

∴當x=34時，y有最大值，最大值為：﹣50×34+15000=13300（元），

答：當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元．

（3）當廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，

則利潤y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，

當k﹣50＞0，即50＜k＜100時，y隨x的增大而增大，

∵，

∴當x=40時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱40臺，空調60臺；

當k﹣50＜0，即0＜k＜50時，y隨x的增大而減小，

∵，

∴當x=34時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱34臺，空調66臺；

答：當50＜k＜100時，購進電冰箱40臺，空調60臺銷售總利潤最大；當0＜k＜50時，購進電冰箱34臺，空調66臺銷售總利潤最大．