Question

寬與長的比是

5 -1

2

的矩形叫黃金矩形，心理學測試表明，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協調，勻稱的美感，現將同學們在教學活動中，折疊黃金矩形的方法歸納出以下作圖步驟：
第一步：作一個任意正方形ABCD；
第二步：分別取AD，BC的中點M，N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；
第四步：過E作EF⊥AD交AD的延長線于F，
（1）請你根據以上作圖步驟畫出圖形；
（2）請證明矩形DCEF為黃金矩形，（可取AB=2）

Answer 1

分析：（1）根據題中作圖步驟即可畫出圖形；
（2）首先設出正方形的邊長是2a，然后根據作圖中的方法分別用a表示出矩形的長和寬，再進一步求得它們的比值，根據黃金矩形的概念即可判斷．

解答：（1）解：如圖；

（2）證明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N為BC的中點，
∴NC=

1

2

BC=a．
在Rt△DNC中，ND=

NC2+CD2

=

5

a，
又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=（

5

-1）a，
∴

CE

CD

=

5 -1

2

．
故矩形DCEF為黃金矩形．

點評：本題考查了黃金分割點的概念，熟記黃金比的值是解題的關鍵．