Question

【題目】（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°，連接AC，BD

交于點M．

①的值為 ；②∠AMB的度數為 °；

（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點M．求的值及∠AMB的度數；

（3）在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內旋轉，AC，BD所在直線交于點M．若OD=，OB=，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．

Answer 1

【答案】（1）①1；②50；（2），；（3）6或9

【解析】

（1）①由SAS可證△COA≌△DOB，進而即可得到結論；②由全等三角形的性質，得∠CAO=∠DBO，結合三角形內角和定理，即可求解；

（2）由，，可得，進而即可得到結論；

（3）分兩種情況：①當點C與點M重合時，如圖3；②當點C與點M重合時，如圖4，分別求出AC的長，即可．

（1）①∵∠AOB=∠COD=50°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，

∴=1；

②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=50°，
∴∠OAB+∠ABO=130°，
∴在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-130°=50°，

故答案是：1 ，50；

（2）∵，，

∴，

同理，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

∴，，

∴；

（3）①當點C與點M重合時，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=x，
∵Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+(x2)2＝(2)2，即：x2-x-18=0，
解得：x1=3，x2=-2（舍去），
∴AC=3×=9；

②當點C與點M重合時，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，
設BD=x，則AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+（x+2）2=(2)2，即：x2+x-18=0，

解得：x1=2，x2=-3（舍去），
∴AC=2×=6；
綜上所述，AC的長為9或6．

，