Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．

（1）求證：△NDE≌△MAE；

（2）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

（3）當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當AM=1時，四邊形AMDN為矩形，理由見解析.

【解析】

（1）由菱形的性質可知ND∥AM，可證得∠DNE=∠AME，結合E為AD的中點，可利用AAS證得結論；

（2）由（1）可得ND=AM，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證得結論；

（3）若四邊形AMDN是矩形，則可求得AM=AD，則可求得答案．

（1）證明：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴CD∥AB，

∴∠DNE=∠AME，

∵E為AD的中點，

∴DE=AE，

在△NDE和△MAE中

∴△NDE≌△MAE（AAS）；

（2）證明：

由（1）可知△NDE≌△MAE，

∴ND=AM，且ND∥AM，

∴四邊形AMDN為平行四邊形；

（3）解：當AM=1時，四邊形AMDN為矩形，

理由如下：

若四邊形AMDN為矩形，則∠AMD=90°，

∵∠DAM=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=AB=1，

故當AM=1時，四邊形AMDN為矩形．