Question

【題目】在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、C作射線BO的垂線，E、F是垂足．

　　

（1）如圖1，求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖2，若，，，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CF=2．

【解析】

（1）根據(jù)AAS先證明△AOE≌△COF，從而得出EO=FO，結(jié)合AO=CO即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)已知求出AO，CO的長(zhǎng)，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，在Rt△BCH中，根據(jù)，結(jié)合勾股定理可得出BH，CH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出HO的長(zhǎng)．再在Rt△BOH中，可得出tan∠BOH=，從而在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，結(jié)合AO的長(zhǎng)，可以求出AE的長(zhǎng)，由CF=AE可得出結(jié)果．

（1）證明：∵O為AC的中點(diǎn)，∴AO=CO．

又AE⊥BO，CF⊥BO，∴∠AEO=∠CFO=90°，

又∠AOE=∠FOC，∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO=FO，

又AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：∵AC=BC，

∴AO=CO=AC=．

過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，

在Rt△BCH中，tan∠BCH=，

設(shè)BH=3x，則CH=4x，∴BC==5x=，

∴x=，∴BH=，CH=，

∴HO=HC-OC=，

在Rt△BOH中，tan∠BOH=，

在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，

設(shè)OE=y，則AE=2y，AO=，

∴y=1，∴AE=2，

又由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，

∴CF=AE=2．