Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=ax2+bx+c (a≠O)與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為(-4，O)，拋物線的對稱軸是直線x=-3，且經過A、C兩點的直線為y=kx+4.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)將直線AC向下平移m個單位長度后，得到的直線l與拋物線只有一個交點D，求m的值；

(3)拋物線上是否存在點Q，使點Q到直線AC的距離為？若存在，請直接寫出Q的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

， .

【解析】試題分析：（1）由經過A、C兩點直線為y=kx+4，且點C在y軸上，確定出點C坐標，根據拋物線的對稱性確定出B點坐標，然后用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）根據點A的坐標確定出直線AC的解析式，根據平移設平移后的解析式為y=x+4-m ，與聯立組成方程組，根據只有一個交點，利用根據的判別式即可求得m的值；

（3）由AC：y=x+4可知到直線AC距離為的點在直線y=x+3或直線y=x+5上，分情況進行討論即可得.

試題解析：（1）∵經過、兩點直線為，且點在軸上，

∴C（0，4），

∵拋物線的對稱軸是直線，A（-4，0），

∴B（-2，0），

∴設拋物線的解析式為： ，

∵拋物線經過點（0，4），

∴，

解得： ，

∴拋物線的函數表達式為；

（2）將代入 ，

得 ，

解得，

∴直線的函數表達式為，

∵直線是由直線向下平移個單位得到的，

∴設直線的解析式為 ，

∵直線與拋物線相交，

∴ ，

∵只有一個交點，

∴，

即： ，

∴m=2；

（3）由AC：y=x+4可知到直線AC距離為的點在直線y=x+3或直線y=x+5上，

解方程組 或 ，

得 或，

所以Q點坐標為： 或 或 或 .