Question

【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點，連接DM，EM．

（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數量關系與位置關系，并直接寫出結論；

（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結論是否仍然成立？請證明你的結論；

（3）將圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉，使D，E，F三點在一條直線上，若AB=13，CE=5，請畫出圖形，并直接寫出MF的長．

Answer 1

【答案】（1）DM⊥EM，DM=EM，理由見解析； （2）DM⊥EM，DM=EM，理由見解析；（3）滿足條件的MF的值為或．

【解析】（1）結論：DM⊥EM，DM=EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因為∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）結論不變，證明方法同（1）類似；

（3）分兩種情形畫出圖形，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質解決問題即可.

（1）結論：DM⊥EM，DM=EM，

理由：如圖1中，延長EM交AD于H，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（2）如圖2中，結論不變．DM⊥EM，DM=EM，

理由：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（3）如圖3中，作MR⊥DE于R，

在Rt△CDE中，DE==12，

∵DM=NE，DM⊥ME，

∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6，

在Rt△FMR中，FM=，

如圖4中，作MR⊥DE于R，

在Rt△MRF中，FM=，

故滿足條件的MF的值為或．