Question

【題目】尺規作圖特有的魅力使無數人沉湎其中．傳說拿破侖曾通過下列尺規作圖將圓等分：

①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六個分點；

②分別以點A，D為圓心，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；

③連接OG，以OG長為半徑，從點A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓等分．順次連接這些等分點構成的多邊形面積為_____．

Answer 1

【答案】2r2

【解析】

根據作法得到六邊形ABCDEF為⊙O的內接正六邊形，則有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函數值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判斷以OG長為半徑，從點A 開始，在圓周上依次截取，剛好將圓4等分，順次連接這些等分點構成了正方形，再利用正方形的面積公式進行計算即可.

連接AD、AC、AG，如圖，

∵將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六個分點，

∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，

∴CD＝ADsin30°=r，AC＝ADcos30°=r，

∵GA＝GD，

∴GO⊥AD，

∴OG＝，

以OG長為半徑，從點A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓4等分，順次連接這些等分點構成的多邊形為正方形，

∴這個多邊形面積＝rr＝2r2，

故答案為：2r2．