Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直與x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．

（1）求出二次函數的表達式以及點D的坐標；

（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積；

（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S，求S與t之間的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D（6，4）；y=﹣x2+x+4；（2）；（3）當0＜t≤3時，S=t2，當3＜t≤6時，S=t2﹣3t+12

【解析】試題分析：（1）用待定系數法求拋物線解析式；（2）由GH∥A1O1，求出GH=1，再求出FH，S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH計算即可；（3）分兩種情況①直接用面積公式計算，②用面積差求出即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．

∴設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣9）， ∵C（0，4）在拋物線上， ∴4=﹣27a，

∴a=﹣， ∴設拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，

∵CD垂直于y軸，C（0，4） ∴﹣x2+x+4=4， ∴x=6， ∵D（6，4），

（2）如圖1， ∵點F是拋物線y=﹣x2+x+4的頂點，∴F（3，）， ∴FH=，

∵GH∥A1O1， ∴， ∴， ∴GH=1，

∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分是梯形A1O1HG，

∴S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．

（3）①當0＜t≤3時，如圖2， ∵C2O2∥DE， ∴， ∴， ∴O2G=t，

∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，

②當3＜t≤6時，如圖3， ∵C2H∥OC， ∴， ∴， ∴C2H=（6﹣t），

∴S=S四邊形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）=t2﹣3t+12

∴當0＜t≤3時，S=t2，當3＜t≤6時，S=t2﹣3t+12．