Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（-2，0）B（-3，3）及原點O，頂點為C。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標。

（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥ x軸，垂足為M，是否存在點P點使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求P點的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x（2）D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）（3）（，）或（3，15）

【解析】試題分析：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，同時也考查了學生分類討論，數形結合的數學思想方法．

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；

（2）首先由A的坐標可求出OA的長，再根據四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=-1右側，進而可求出D橫坐標為：-1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；

（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．

試題解析：（1）拋物線的解析式為；

（2）①當AE為邊時，

∵A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴DE=AO=2，則D在x軸下方不可能，

∴D在軸上方且DE=2，則D1（1，3），D2（﹣3，3）,

②當AO為對角線時，則DE與AO互相平分，

∵點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為-1，

由對稱性知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即C（-1，-1），

故符合條件的點D有三個，分別是D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）。

（3）存在，如圖：

∵B（-3，3），C（-1，-1），

根據勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2，

∴△BOC是直角三角形，

假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，

設P（x，y），

由題意知x＞0，y＞0，且，

①若△AMP∽△BOC，

則，即x+2=3（x2+2x）得：，x2=-2（舍去）當時，，即P（）；

②若△PMA∽△BOC，，

即：x2+2x=3（x+2）,

得：x1=3，x2=-2（舍去）,

當x=3時，y=15，即P（3，15），

故符合條件的點P有兩個，分別是P（）或（3，15）．