Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB =AC=2，∠B = 40°，點D在線段BC上運動（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE = 40°，DE交線段AC于點E．

（1）當∠BDA = 115°時，∠BAD= °，∠DEC = °，當點D從點B向點C運動時，∠BDA逐漸變 （填“大”或“小”） ．

（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE？請說明理由．

（3）在點D的運動過程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時∠BDA的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115，小；（2）當DC=2時，△ABD ≌△DCE，理由見解析；（3）存在．∠BDA=110°或80°．

【解析】試題分析：

（1）根據三角形的內角和計算∠BAD，再由三角形的一個外等于和它不相鄰的兩個內角的和求∠EDC，從而可得∠DEC，根據三角形的內角和判斷∠BDA的大小變化.

（2）在（1）中可得到這兩個三角形的三個角都相等，只要有一條邊對應相等即可，而已知AB=2，所以CD=2.

（3）假設等腰△ADE存在，因為底邊不確定，所以需要分三種情況討論，求出∠BDA的度數后要檢驗.

試題解析：

（1）∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴40°+∠EDC=40°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD.

∴∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-40°-25°=115°.

∵在點D從點B向點C運動的過程中，對于△ABD，∠B=40°不變，∠BAD逐漸變大，

∴∠ADB逐漸變小.

（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由如下：

在△ABD和△DCE中，

因為∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，已經有了兩個角分別相等，所以只需要一邊對應相等即可.

AB=AC=2，當DC=AB時，則可用ASA證明這兩個三角形全等.

（3）在點D的運動過程中，存在△ADE是等腰三角形。理由如下：

①當DA=DE時，∠DAE=（180°-∠ADE）÷2=（180°-40°）÷2=70°.

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+70°=110°.

②當AD=AE時，∠DAE=180°-2×40°=100°，

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+100°=140°，

但∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-∠BAD，所以∠BDA＜140°，

所以AD=AE不存在.

③當EA=ED時，∠DAE=∠EDA=40°，

所以∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°.

綜上所述，∠BDA=110°或80°.