Question

【題目】拋物線L：y=﹣x2+bx+c經過點A（0，1），與它的對稱軸直線x=1交于點B．

（1）直接寫出拋物線L的解析式；

（2）如圖1，過定點的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；

（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D．F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）當m=2﹣1時，點P的坐標為（0，）和（0，）；當m=2時，點P的坐標為（0，1）和（0，2）．

【解析】

（1）根據對稱軸為直線x=1且拋物線過點A（0，1）利用待定系數法進行求解可即得；

（2）根據直線y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直線所過定點G坐標為（1，4），從而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BGxN﹣BGxM=1得出xN﹣xM=1，聯立直線和拋物線解析式求得x=，根據xN﹣xM=1列出關于k的方程，解之可得；

（3）設拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再設P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF兩種情況，由對應邊成比例得出關于t與m的方程，利用符合條件的點P恰有2個，結合方程的解的情況求解可得．

（1）由題意知，解得：，

∴拋物線L的解析式為y=﹣x2+2x+1；

（2）如圖1，設M點的橫坐標為xM，N點的橫坐標為xN，

∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，

∴當x=1時，y=4，即該直線所過定點G坐標為（1，4），

∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，

∴點B（1，2），

則BG=2，

∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG（xN﹣1）-BG（xM-1）=1，

∴xN﹣xM=1，

由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，

解得：x==，

則xN=、xM=，

由xN﹣xM=1得=1，

∴k=±3，

∵k＜0，

∴k=﹣3；

（3）如圖2，

設拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，

∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），

設P（0，t），

（a）當△PCD∽△FOP時，，

∴，

∴t2﹣（1+m）t+2=0①；

(b)當△PCD∽△POF時，，

∴，

∴t=（m+1）②；

（Ⅰ）當方程①有兩個相等實數根時，

△=（1+m）2﹣8=0，

解得：m=2﹣1（負值舍去），

此時方程①有兩個相等實數根t1=t2=，

方程②有一個實數根t=，

∴m=2﹣1，

此時點P的坐標為（0，）和（0，）；

（Ⅱ）當方程①有兩個不相等的實數根時，

把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，

解得：m=2（負值舍去），

此時，方程①有兩個不相等的實數根t1=1、t2=2，

方程②有一個實數根t=1，

∴m=2，此時點P的坐標為（0，1）和（0，2）；

綜上，當m=2﹣1時，點P的坐標為（0，）和（0，）；

當m=2時，點P的坐標為（0，1）和（0，2）．