Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-，0)、(0，-1)，把點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得點(diǎn)C，若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=的圖象上，且以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)畫(huà)出滿(mǎn)足題意的示意圖并在示意圖的下方直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）示意圖見(jiàn)解析，E（-，-），D（0，-1-）或E（-，-），D（0，-1+）或E ， D

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和直角三角形的邊角關(guān)系可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論解答，①點(diǎn)E在第三象限，由題意可得E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的相同，將A的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，可求出縱坐標(biāo)，得到E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AE的長(zhǎng)，也是BD的長(zhǎng)，因此D在B的上方和下方，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，②點(diǎn)E在第一象限，由三角形全等，得到E的橫坐標(biāo)，代入求出縱坐標(biāo)，確定E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（1）由旋轉(zhuǎn)得：OC=OA=，∠AOC=135°，

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸，垂足為M，則∠COM=135°-90°=45°，

在Rt△OMC中，∠COM=45°，OC=，

∴OM=CM=1，

∴點(diǎn)C（1，1），代入y=得：k=1，

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=，

答：反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在第三象限反比例函數(shù)的圖象上，如圖1，圖2，

∵點(diǎn)D在y軸上，AEDB是平行四邊形，

∴AE∥DB，AE=BD，AE⊥OA，

當(dāng)x=-時(shí)，y==-，

∴E（-，-）

∵B（0，-1），BD=AE=，

當(dāng)點(diǎn)D在B的下方時(shí)，

∴D（0，-1-）

當(dāng)點(diǎn)D在B的上方時(shí)，

∴D（0，-1+），

②當(dāng)點(diǎn)E在第一象限反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，如圖3，

過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸，垂足為N，

∵ABED是平行四邊形，

∴AB=DE，AB=DE，

∴∠ABO=∠EDO，

∴△AOB≌△END （AAS），

∴EN=OA=，DN=OB=1，

當(dāng)x=時(shí)，代入y=得：y=，

∴E（，），

∴ON=，OD=ON+DN=1+，

∴D（0，1+）