Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+b與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中點A的坐標為（3，4），點B在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過點P作x軸的垂線與該二次函數的圖象交于點E．
（1）求b的值及這個二次函數的關系式；
（2）設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若點D為直線AB與該二次函數的圖象對稱軸的交點，則四邊形DCEP能否構成平行四邊形？如果能，請求出此時P點的坐標；如果不能，請說明理由．
（4）以PE為直徑的圓能否與y軸相切？如果能，請求出點P的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可用頂點式二次函數通式設出二次函數的解析式，然后將A點的坐標代入其中，即可求出拋物線的解析式和b的值．
（2）PE的長實際是直線AB的解析式與拋物線的差．由此可得出h，x的函數關系式．
（3）先求出D點的坐標和CD的長，由于四邊形PDCE是平行四邊形，因此CD=PE，將CD的長代入（2）的函數關系式中，可得出一個關于x的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的P點，如果有解，那么求出的x就是P的橫坐標，進而可根據直線AB的解析式求出P點的坐標．
（4）假設存在這樣的P點，那么此時圓心到y軸的距離為

1

2

PE，即圓心的橫坐標（即P的橫坐標）為

1

2

h，然后代入（2）的函數式中即可求出P點的橫坐標，進而可求出符合條件的P點的坐標．

解答：解：（1）b=1
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²把A（3，4）代入，
得a=1；
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²
即y=x²-2x+1；

（2）h=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x（0＜x＜3）；

（3）要使四邊形DCEP是平行四邊形，必須有PE=DC，
∵y=x+1經過點D，
∴D（1，2），
∴-x²+3x=2，
解得x=2或x=1，
∵當x=1時，y=2，
∴P（1，2）與D點重合，故舍去，
∴當點P的坐標為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形；

（4）設圓心坐標為（m，n），則m=

1

2

h時，該圓與y軸相切，
∵m=x，
∴得x=

-x2+3x

2

，
解得x=1，x=0（舍去），
∴點P的坐標為（1，2）時，以PE為直徑的圓能與y軸相切．

點評：本題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定，平行四邊形的判定和性質，切線的判定等知識點．
考查學生數形結合的數學思想方法．