Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的 切線(xiàn)，交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BE、AD并延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)F，

（1）求證：BE是⊙O的切線(xiàn)

（2）若OB=9，sin∠ABC=，求BF的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）圖形見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結(jié)論．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，根據(jù)sin∠ABC＝23，可求出OD＝6，OH＝4，HB＝5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長(zhǎng)．

試題解析：

（1）連接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE＝∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半徑，

∴BE與⊙O相切．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，連接AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，

∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴,

又∵sin∠ABC＝，OB＝9，

∴OD＝6，

易得∠ABC＝∠ODH，

∴sin∠ODH＝，即，

∴OH＝4，

∴DH＝＝2，

又∵△ADH∽△AFB，

∴， ，

∴FB＝．