Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB：y=x+相交于點A（1，0）和B（t，），直線AB交y軸于點C．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點D是x軸上的一個動點，連接BD、CD，請問△BCD的周長是否存在最小值？若存在，請求出點D的坐標，并求出周長最小值；若不存在，請說明理由．

（3）設點M是拋物線對稱軸上一點，點N在拋物線上，以點A、B、M、N為頂點的四邊形是否可能為矩形？若能，請求出點M的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣，x=﹣1；（2）5+2；（3）能為矩形，M（﹣1，4）

【解析】

（1）利用待定系數法求函數解析式；

（2）的周長，其中為定值，當該三角形的周長最小時，需要的值最小，即點、、共線時，它們的值最小，所以利用軸對稱的性質找到點的坐標；結合一次函數圖象上點坐標求得點的坐標；

（3）需要分類討論：①為四邊形的邊長；②為四邊形的對角線.

①若為四邊形的邊長，作，交軸于點，又，構造，可得，根據直線與拋物線的交點的求法得到：直線與拋物線只有一個交點為；

②若為四邊形的對角線，當四邊形是平行四邊形時，對角線互相平分，據此求得.

（1）對于y=-x+，

令y=得x=﹣4，

∴B（﹣4，）．

分別把A（1，0）和B（﹣4，）代入y=x2+bx+c，得 .

解得，

則該拋物線解析式為：y=x2+x﹣，

∵﹣=﹣1，

∴對稱軸為直線x=﹣1；

（2）直線AB：y=-x+相交于點C（0，），

作點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，-），

連接BC′交x軸于點D，根據“兩點之間線段最短”可得BD+CD的和最小，

從而△BCD的周長也最小，

∵B（﹣4，），C′（0，﹣），

∴直線BC′的解析式為y=﹣x﹣．

令y=0，可得x=﹣，

∴D（﹣，0），

∴當△BCD的周長最小時，點D的坐標為（﹣，0），

最小周長=BC+BC′=+=5+2；

（3）①

若AB為四邊形的邊長，

作AE⊥AB，交y軸于點E，又OA⊥CE，

∴△AOC∽△EOA，

∴OE=2OA=2，

∴E（0，﹣2）.

∴直線AE為y=2x﹣2，

令2x﹣2=x2+x﹣，

解得x1=x2=1，

∴直線AE與拋物線只有一個交點為A，

∴不存在滿足題意的矩形；

②

若AB為四邊形的對角線，當四邊形是平行四邊形時，對角線互相平分，有xA+xB=xM+xN，即：1+（﹣4）=﹣1+xN，

解得xN=﹣2．

把xN=﹣2代入y=x2+x﹣，

得yN=﹣，

由yA+yB=yM+yN得：yM=4，

∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），

此時MN==，AB==，

∴MN=AB，

∴平行四邊形AMBN為矩形，

綜上，能為矩形，M（﹣1，4）．