Question

【題目】如圖，已知點D為OB上的一點，按下列要求進行尺規作圖（保留作圖痕跡），并回答問題．

（1）作∠AOB的平分線OC，在OC上取一點P使得OP＝a；

（2）過點P作OA邊上的高；

（3）在邊OA上取一點E，使得PE＝PD，請寫出∠OEP與∠ODP的數量關系．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與∠AOB的兩邊分別相交，再以兩交點為圓心，以大于兩交點之間的距離的一半為半徑畫弧，相交于一點，過這一點與O作射線OC即可；在OC上取一點P，使得OP＝a；

（2）一點P為原心，任意長半徑與OA相交于兩點，在以該兩點為畫弧，兩弧交于一點，鏈接改點與點P，即為所求

（3）以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM＝PN，利用HL證明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P＝∠ODP，再根據平角的定義即可求解．

解：（1）如圖，OC即為所求；如圖，OP＝a；

(2) 如圖所示.

（3）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．

理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，

PN⊥OB于N，則PM＝PN．

在△E2PM和△DPN中，

∴△E2PM≌△DPN（HL），

∴∠OE2P＝∠ODP；

以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OA于另一點E1，連接PE1，

則此點E1也符合條件PD＝PE1，

∵PE2＝PE1＝PD，

∴∠PE2E1＝∠PE1E2，

∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，

∵∠OE2P＝∠ODP，

∴∠OE1P+∠ODP＝180°，

∴∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．