Question

【題目】現場學習題：

問題背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．

小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．

（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上． ．

思維拓展：

（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法，若△ABC三邊的長分別為a，2a、a（a＞0），請利用圖2的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積是： ．

探索創新：

（3）若△ABC三邊的長分別為、、（m＞0，n＞0，m≠n），請運用構圖法在圖3指定區域內畫出示意圖，并求出△ABC的面積為： ．

Answer 1

【答案】（1）2．5；（2）畫圖詳見解析；3a2；（3）畫圖詳見解析；3mn．

【解析】

（1）把△ABC所在長方形畫出來，再用矩形的面積減去周圍多余三角形的面積即可；

（2）a是直角邊長為a、a的直角三角形的斜邊；2a是直角邊長為4a，2a的直角三角形的斜邊；a是直角邊長為a，5a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；

（3）結合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為n，4m的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積．

（1）S△ABC=4×2-×4×1-×1×1-×2×3=2.5，

故答案為：2.5；

（2）如圖所示：

S△ABC=5a×2a-×a×a-×2a×4a-×a×5a=3a2，

故答案為：3a2；

（3）如圖所示：

S△ABC=4m×2n-×2m×2n-×2m×n-×4m×n=3mn，

故答案為：3mn．