Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k為常數）與拋物線y= x2﹣2交于A，B兩點，且A點在y軸左側，P點的坐標為（0，﹣4），連接PA，PB．有以下說法：
①PO2=PAPB；
②當k＞0時，（PA+AO）（PB﹣BO）的值隨k的增大而增大；
③當k=- 時，BP2=BOBA；
④△PAB面積的最小值為 ．
其中正確的是 ． （寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

【答案】③④
【解析】解：設A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯立y= x2﹣2與y=kx得： x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，
∴m+n=3k，mn=﹣6．
設直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，解得a= ，b=﹣4，
∴y=（ ）x﹣4．
令y=0，得x= ，
∴直線PA與x軸的交點坐標為（ ，0）．
同理可得，直線PB的解析式為y=（ ）x﹣4，直線PB與x軸交點坐標為（ ，0）．
∵ + = = =0，
∴直線PA、PB與x軸的交點關于y軸對稱，即直線PA、PB關于y軸對稱．
1）說法①錯誤．理由如下：
如答圖1所示，∵PA、PB關于y軸對稱，
∴點A關于y軸的對稱點A′落在PB上．
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假設結論：PO2=PAPB成立，即PO2=PA′PB，
∴ ，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴說法①錯誤．
2）說法②錯誤．理由如下：
易知： =﹣ ，
∴OB=﹣ OA．
由對稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴ ，
∴PB=﹣ PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣ PA﹣（﹣ OA）]=﹣ （PA+AO）（PA﹣OA）=﹣ （PA2﹣AO2）．
如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=﹣km，PD=4+km．

∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k= （m+n），
∴PA2﹣AO2=8 （m+n）m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2 ．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣ （PA2﹣AO2）=﹣ m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）為定值，所以說法②錯誤．
3）說法③正確．理由如下：
當k= 時，聯立方程組： ，得A（ ，2），B（ ，﹣1），
∴BP2=12，BOBA=2×6=12，
∴BP2=BOBA，故說法③正確．
4）說法④正確．理由如下：
S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP（﹣m）+ OPn= OP（n﹣m）=2（n﹣m）=2 =2 ，
∴當k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為 = ．
故說法④正確．
綜上所述，正確的說法是：③④．
所以答案是：③④．
【考點精析】本題主要考查了根與系數的關系的相關知識點，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．