Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，射線AM⊥AB，點D在AM上，連接OD交圓O于點E，過點D作DC=DA交圓O于點C（A、C不重合），連接OC、BC、CE．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若圓O的直徑等于2，填空：

①當AD=　 　時，四邊形OADC是正方形；

②當AD=　 　時，四邊形OECB是菱形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）①1；②．

【解析】試題分析：（1）依據SSS證明△OAD≌△OCD，從而得到∠OCD=∠OAD=90°；
（2）①依據正方形的四條邊都相等可知AD=OA；
②依據菱形的性質得到OE=CE，則△EOC為等邊三角形，則∠CEO=60°，依據平行線的性質可知∠DOA=60°，利用特殊銳角三角函數可求得AD的長．

試題解析：解：∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）①∵當四邊形OADC是正方形，

∴AO=AD=1．

故答案為：1．

②∵四邊形OECB是菱形，

∴OE=CE．

又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案為：．