Question

【題目】有一道作業題：

（1）請你完成這道題的證明；

已知：如圖1，在正方形ABCD中，G是對角線BD上一點（G與B，D不重合）連結AG，CG

求證：△BAG≌△BCG

（2）做完（1）后，小穎善于反思，她又提出了如下的問題，請你解答．

如果在射線CB上取點E，使GE＝GC，連結GE．

①如圖2，當點E在線段CB上時，求證：AG⊥EG．

②探究線段AB，BE，BG之間的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）①見解析；②當點E在線段CB上時，AB+BE＝BG；當點E在線段CB延長線上時，AB﹣BE＝BG．

【解析】

（1）由正方形知BD平分∠ABC，據此得∠ABG＝∠CBG，結合AB＝BC，BG＝BG即可得證；

（2）①由△BAG≌△BCG知∠BAG＝∠BCG，據此得GE＝GC，∠BCG＝∠GEC，從而知∠GEC＝∠BAG，再根據∠GEC+∠BEG＝180°知∠BAG+∠BEG＝180°，從而得∠ABE+∠AGE＝180°，即可得證；

②分點E在線段CB上和點E在線段CB延長線上兩種情況分別求解可得．

解：（1）如圖1，

在正方形ABCD中，BD是對角線，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABG＝∠CBG，

又∵AB＝BC，BG＝BG，

∴△BAG≌△BCG（SAS）；

（2）①如圖2，

由（1）知△BAG≌△BCG，

∴∠BAG＝∠BCG，

∴GE＝GC，

∴∠BCG＝∠GEC，

∴∠GEC＝∠BAG，

又∵∠GEC+∠BEG＝180°，

∴∠BAG+∠BEG＝180°，

∴∠ABE+∠AGE＝180°，

又∵∠ABE＝90°，

∴∠AEG＝90°，

∴AG⊥EG．

②如圖3，當點E在線段CB上時，作GH⊥BC于H，

在Rt△BGH中，BH＝ BG，

∵BE＝BH﹣EH①，AB＝BH+CH②，

∵GE＝GC，

∴EH＝CH，

∴①+②，得：AB+BE＝2BH，

∴AB+BE＝BG；

如圖3，當點E在線段CB延長線上時，作GH⊥BC于H，

在Rt△BGH中，BH＝BG，

∵BE＝EH﹣BH①，AB＝BH+HC②，

∴②﹣①，得：AB﹣BE＝2BH，

∴AB﹣BE＝BG．