Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線BC的函數解析式為y’=kx+b,求當滿足y<y’時，自變量x的取值范圍.
（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點C（0，4），

∴c=4 ①．

∵對稱軸x=- =1，

∴b=-2a ②．

∵拋物線過點A（-2，0），

∴0=4a-2b+c ③，

由①②③解得，a=- ，b=1，c=4，

∴拋物線的解析式為y=- x2+x+4；

（2）解：∵A（﹣2，0），對稱軸x=1，

∴B（4，0）

根據圖像，得x<0 或x>4時，y

（3）解：已知DE∥PQ，當DE=PQ時，以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

設點P的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|=DE= ，

∴m=1，m=3，m= ，m=

當m=1時，線段PQ與DE重合，舍去．

∴P1（3，1），

P2（ ， ），

P3（ ， ）.

【解析】（1）方法一、根據點C的坐標可求得c=4，根據對稱軸x=1，得出b=-2a ，將點A的坐標代入解析式得出0=4a-2b+c ，聯立求解，即可求出函數解析式。方法二、根據二次函數的對稱性，由點A的坐標及拋物線的對稱軸x=1，求出點B的坐標，然后設函數解析式為交點式，再將點C的坐標代入求出a的值，即可求出函數解析式。
（2）先求出點B的坐標，根據點A、B的坐標，觀察函數圖像要使y<y’時，就要觀察拋物線低于直線BC的部分，即可求出結果。
（3）抓住已知條件平行于DE的一條動直線l，可知DE∥PQ，點P和點Q的橫坐標相等，要證以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，只需證得DE=PQ即可。先根據點P和點Q的橫坐標相等，分別設出兩點坐標，再根據DE=PQ建立方程，求解即可求得點P的坐標。
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．