Question

【題目】將一副三角板按如圖擺放，其中△ABC為含有45度角的三角板，直線AD是等腰直角三角形ABC的對稱軸，且將△ABC分成兩個等腰直角三角形，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點，有下列四個結論：①BD＝AD＝CD②△AED≌△CFD③BE+CF＝EF④S四邊形AEDF＝AB2．其中正確結論是_____（填寫正確序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD=BD，故①正確，∠CAD=∠B=45°，根據同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，判斷出②正確，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF、BE=AF，求出AE=CF，根據BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出③錯誤；根據全等三角形的面積相等可得S△ADF=S△BDE，從而求出S四邊形AEDF=S△ABD=AB2，判斷出④正確．

∵∠B=45°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵點D為BC中點，

∴AD=CD=BD，故①正確；

AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴∠EAD=∠C，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正確；

∴DE=DF、BE=AF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，

∵BE+CF=AF+AE

∴BE+CF＞EF，故③錯誤；

∵△BDE≌△ADF，

∴S△ADF=S△BDE，

∴S四邊形AEDF=S△ACD=AD2=AB2．故④正確.

故答案為：①②④．