Question

在圖1-3中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE=2b，且邊AD和AE在同一直線上．

（1）操作發現：
①當2b＜a時，如圖1，在BA上選取點G，使BG=b，連接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，小明發現：如果先將△FAG繞點F逆時針旋轉90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．請說明理由；
②對于拼接成的新四邊形FGCH，小明通過度量發現其恰是正方形．請說明理由．
（2）實踐探究：
小明進一步探究后發現：當2b＜a、2b=a、a＜2b＜2a、b=a時（即b≤a時），此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．請你類比圖1的剪拼方法，在圖2（a＜2b＜2a）中畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．
（3）聯想拓展：
當b＞a時，如圖3的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．

Answer 1

解：①∵△FAG繞點F逆時針旋轉90°到△FEH的位置，
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置
②作FM⊥AD于點M
∵△FAE為等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG
∴四邊形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四邊形FGCH是正方形．

（2）、（3）剪拼方法如圖2、3（每圖．注：圖3用其它剪拼方法能拼接成面積為a²+b²的正方形均給分．


分析：（1）①兩個三角形中都有一個直角，都使用了正方形的邊長，由旋轉可得EH=AG=a-b，根據題中所給的條件可得DH=BG，那么所求的兩個三角形全等，△CGB恰可以拼接到△CHD的位置；
②由前面的全等可得到CG=CH，FH=FG，那么應證明FH和CH所在的三角形全等，得到所求的四邊形的菱形，進而根據全等中的對應角相等和原來正方形的直角得到新四邊形的一個角是直角得證．
（2）（3）應采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠等于等腰直角三角形斜邊的一半．
點評：本題考查學生的推理論證能力和動手操作能力；運用類比方法作圖時，應根據范例抓住作圖的關鍵：作的線段的長度與某條線段的比值，旋轉的三角形，連接的點都應是相同的．