Question

【題目】如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-4）（a為常數，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y=-x+b與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為-5．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點，連接PD、PB，求△PBD面積的最大值；

（3）設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（-2，2）

【解析】

（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面積公式建立函數關系式，再確定出最大值；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF．如圖，作輔助線，將AF+DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

（1）拋物線y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，

∴A（-2，0），B（4，0）．

∵直線y=-x+b經過點B（4，0），

∴-×4+b=0，解得b=，

∴直線BD解析式為：y=-x+，

當x=-5時，y=3，

∴D（-5，3），

∵點D（-5，3）在拋物線y=a（x+2）（x-4）上，

∴a（-5+2）（-5-4）=3，

∴a=．

∴拋物線的函數表達式為：y=x2-x-

（2）設P（m，m2-m-）

∴S△BPD=×9[（-m+）-（m2-m-）]

=-m2-m+10

=-（m+）2+

∴△BPD面積的最大值為；

（3）如圖，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，

∵由（2）得，DN=3，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°=FD，

∴當且僅當AH⊥DK時，AF+FH最小，

點M在整個運動中用時為：t=AF+FD=AF+FH，

∵lBD：y=-x+，

∴Fx=Ax=-2，F（-2，2）

∴當F坐標為（-2，2）時，用時最少．