Question

【題目】設a,b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a,b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n,我們就稱此函數是閉區間[m.n]上的“閉函數”．如函數，當x=1時，y=3；當x=3時，y=1，即當時，有，所以說函數是閉區間[1,3]上的“閉函數”．

（1）反比例函數y=是閉區間[1,2016]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若二次函數y=是閉區間[1,2]上的“閉函數”，求k的值；

（3）若一次函數y=kx+b(k≠0)是閉區間[m,n]上的“閉函數”，求此函數的表達式（用含m，n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析（2）k=．（3）或．

【解析】

試題分析：（1）分別求出當x=1和x=2016時的函數y的值，然后根據閉函數的定義判斷即可；（2）分別求出當x=1和x=2時的函數y的值，然后可分別確定k的值，然后檢驗閉函數在閉區間[1,2]情況是否符合同意即可；（3）分當和兩種情況討論.

試題解析：（1）反比例函數y=是閉區間[1,2016]上的“閉函數”．

理由如下：

反比例函數y=在第一象限，y隨x的增大而減小，

當x=1時，y=2016； 當x=2016時，y=1，

即圖象過點（1,2016）和（2016,1）

∴當1≤x≤2016時，有1≤y≤2016，符合閉函數的定義，

∴反比例函數y=是閉區間[1，2016]上的“閉函數”；

（2）由于二次函數的圖象開口向上，

對稱軸為，

∴二次函數在閉區間[1,2]內，y隨x的增大而增大．

當x=1時，y=1，

∴k=．

當x=2時，y=2，

∴k=．

即圖象過點（1,1）和（2,2）

∴當1≤x≤2時，有1≤y≤2，符合閉函數的定義，

∴k=．

（3）因為一次函數是閉區間上的“閉函數”，

根據一次函數的圖象與性質，有：

（Ⅰ）當時，即圖象過點（m,m）和（n,n）

，

解得．

∴

（Ⅱ）當時，即圖象過點（m,n）和（n,m）

，解得

∴，

∴一次函數的表達式為或．