Question

【題目】如圖①，在中，為邊上一點，過點作交于點，連接，為的中點，連接．

（觀察猜想）

（1）①的數量關系是___________

②的數量關系是______________

（類比探究）

（2）將圖①中繞點逆時針旋轉，如圖②所示，則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（拓展遷移）

（3）將繞點旋轉任意角度，若，請直接寫出點在同一直線上時的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）成立，證明見解析；（3）的長為或

【解析】

（1）①根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案；

②由①知，利用等邊對等角和三角形的外角性質，得到，，然后即可得到答案；

（2）①過點作交的延長線于點，EF與交于點，利用等腰直角三角形的性質，證明，即可得到結論成立；

②由全等三角形的性質，求出∠OEC=90°，即可得到結論成立；

（3）根據旋轉的性質，點在同一直線上可分為兩種情況：①點C在線段OB上；②點C在OB的延長線上；利用等腰直角三角形的性質，分別求出OE的長度，即可得到答案.

解：（1）如圖，在△AOD和△ACD中，

∵，為AD中點，

，

，E為AD中點，

，

；

②，為AD中點，

，

∴；

同理可得：，

，

．

（2）成立．

證明：①如圖，過點作交的延長線于點與交于點，

∵是等腰三角形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴均為等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴；

②，

∴，

，

，

；

（3）的長為或；

∵在等腰直角中，，

，

由（2）可知，，，

∴是等腰直角三角形，

∴；

當點在同一直線上時，有

①點C在線段OB上；如圖：

∴，

∴；

②點C在OB的延長線上；如圖：

∴，

∴；

綜上所述，的長為或；