Question

【題目】在等腰△ABC中，AB=AC，將線段BA繞點B順時針旋轉到BD，使BD⊥AC于H，連結AD并延長交BC的延長線于點P.

(1)依題意補全圖形；

(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；

(3)小明作了點D關于直線BC的對稱點點E，從而用等式表示線段DP與BC之間的數量關系.請你用小明的思路補全圖形并證明線段DP與BC之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）∠BDA=45°+α；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）按要求在圖中畫出相應圖形即可；

（2）由∠BAC=2α結合BD⊥AC于點H，可得∠ABH=90°-2α，再結合BD=AB即可求得∠BDA；

（3）首先按要求補充完整圖形，由點D和點E關于BP對稱，可得BE=BD=AC，DE=2DG，DE⊥BP，∠DBP=∠EBP，結合（2）中結論，可證得∠DBE=2α=∠BAC，從而可證得△ABC≌△BDE，由此可得BC=DE；由∠P=∠ADB-∠DBP可得∠P=45°，結合DE⊥BP可得，結合BC=DE=2DG即可得到DG與DP間的數量關系了.

試題解析：

（1）將圖形按要求補充完整如下：

（2）∵BD⊥AC于點H，

∴∠AHB=90°，

又∵∠BAC=2α，

∴∠ABH=90°-2α，

∵BA=BD

∴∠BDA=∠BAD= ；

（3）補全圖形，如下圖所示：

證明過程如下：

∵D關于BC的對稱點為E，且DE交BP于G，

∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，

∵AB=AC，∠BAC=2α

∴∠ABC=∠ACB= ，

由（2）知∠ABH=90°-2α，

∴∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α

∴∠DBP=∠EBP=α

∴∠BDE=2α

∵AB=BD=AC=BE，

∴△ABC≌△BDE，

∴BC=DE，

∵∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，∠DGP=90°，

∴，

∴，

∴，

∴BC=DP.